একটি কয়েন toss করছেন — head আসবে নাকি tail? নিশ্চিত করে বলা যায় না, কিন্তু long run-এ ৫০-৫০। AI model-ও ঠিক একইভাবে কাজ করে — প্রতিটি prediction একটি probability, একটি confidence score।
Probability হলো অনিশ্চয়তার গণিত — যা ছাড়া আধুনিক AI অচল।
Intuitive Explanation
Probability = কোনো event ঘটার সম্ভাবনা, একটি সংখ্যা 0 থেকে 1-এর মধ্যে। 0 = impossible, 1 = certain।
একটি ৬-পার্শ্বের dice-এ P(6) = 1/6। দুটি dice-এ sum = 7 হওয়ার probability = 6/36 = 1/6।
Axioms & Rules
Kolmogorov-এর তিনটি axiom
- 0 ≤ P(A) ≤ 1
- P(Ω) = 1 (sample space-এর total probability = 1)
- Mutually exclusive event-এর জন্য: P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
মূল rules
Sample Space & Events
Sample space (Ω) = সব possible outcome-এর set। Event = sample space-এর একটি subset।
- একটি কয়েন: Ω = {H, T}
- একটি dice: Ω = {1,2,3,4,5,6}
- Event "even number": A = {2,4,6}, P(A) = 3/6 = 0.5
Python Implementation
import numpy as np
# Simulate dice rolls — empirical vs theoretical probability
np.random.seed(0)
n_trials = 100_000
rolls = np.random.randint(1, 7, size=n_trials)
p_six_empirical = np.mean(rolls == 6)
print(f"P(6) empirical = {p_six_empirical:.4f}, theoretical = {1/6:.4f}")
# Two dice, sum = 7
d1 = np.random.randint(1, 7, n_trials)
d2 = np.random.randint(1, 7, n_trials)
p_seven = np.mean((d1 + d2) == 7)
print(f"P(sum=7) = {p_seven:.4f}, theoretical = {6/36:.4f}")
# Law of large numbers: convergence
running = np.cumsum(rolls == 6) / np.arange(1, n_trials + 1)
print(f"After 100: {running[99]:.4f}")
print(f"After 10k: {running[9999]:.4f}")
print(f"After 100k: {running[-1]:.4f}")AI/ML সংযোগ
- Classifier output = probability distribution over classes (softmax)।
- Dropout = neuron-কে probability p দিয়ে on/off — Bernoulli trial।
- Data augmentation = random transformation with probability।
- Monte Carlo methods = simulation-based probability estimation।
Common Mistakes
- Mutually exclusive vs independent — দুটো ভিন্ন জিনিস।
- Gambler's fallacy: ৫ বার head এলে পরের বার tail-ই আসবে — ভুল।
- Probability > 1 হলে calculation-এ bug আছে।
Practice Tasks
- একটি deck (52 cards) থেকে একটি ace টানার probability কত?
- ২টি dice-এ sum ≥ 10 হওয়ার probability?
- ৩টি কয়েন toss করে অন্তত একটি head আসার probability?
Assignment
Monte Carlo দিয়ে π estimate করুন: একটি unit square-এর ভেতরে random point ফেলুন, কতগুলো unit circle-এর ভেতরে পড়ছে তা গুণে π ≈ 4 · (inside/total) বের করুন।
Interview Questions
- Independent vs mutually exclusive event-এর পার্থক্য?
- Law of large numbers কী বলে?
- একটি biased coin-এ P(H) = 0.7। ৩ বার toss-এ exactly ২ head হওয়ার probability?
Mini Project
"Probability Simulator" — একটি tool যেখানে user event define করতে পারে (dice, cards, coin), trial সংখ্যা দেয়, এবং empirical probability vs theoretical probability-এর convergence একটি graph-এ দেখায়।
Summary · সারসংক্ষেপ
- Probability = অনিশ্চয়তার পরিমাপ, 0 থেকে 1।
- তিনটি axiom থেকে সব rule derive হয়।
- Independent event-এর joint probability = product।
- Law of large numbers — trial বাড়ালে empirical → theoretical।