Algebra Foundations

Algebra-র ৩টি মূল উপাদান:

• Variable — "অজানা" বা "পরিবর্তনশীল" সংখ্যার নাম (x, θ, w)
• Expression — variable ও সংখ্যা দিয়ে বানানো গাণিতিক বাক্যাংশ (2x + 3)
• Equation — দুটি expression সমান হওয়ার ঘোষণা (2x + 3 = 11)

ML-এ একটা model আসলে একটা বিশাল expression, training হলো equation solve করা, এবং learned model হলো সেই solution।

Constant — মান fixed (π, 2, 0.001)। Variable — মান পরিবর্তনশীল।

একটি expression-কে সহজ করার ৩টি মূল হাতিয়ার:

1. Distributive law

2. Like terms একত্রিত

3. Factoring

"যা একপাশে করো, অন্য পাশেও করো" — equation-এর একমাত্র নিয়ম।

System of equations

যোগ করলে: 3x = 9 → x = 3, y = 1। ML-এ এই system হাজার-মাত্রায় হয় — সেটাই Linear Algebra।

Function হলো একটি "machine" — input দিলে fixed নিয়মে output দেয়।

f(5) = 13, f(0) = 3। প্রতিটি input-এর জন্য একটিই output।

৫ ধরনের function যা AI-তে বারবার আসে

• Linear: f(x) = wx + b — linear regression-এর ভিত্তি
• Quadratic: f(x) = ax² + bx + c — MSE loss
• Exponential: f(x) = e^x — softmax
• Logarithmic: f(x) = ln(x) — cross-entropy
• Sigmoid: σ(x) = 1 / (1 + e^−x) — binary classification

একটি simple neuron:

পুরো neural network = এই ছোট function-গুলোর nesting:

ML-এ probability, normalization, activation range — সবখানে inequality লাগে।

Function-কে Python-এ representation করা — ML-এর সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ habit।

import math

# 1) Linear function: f(x) = w*x + b
def linear(x, w=2.0, b=3.0):
    return w * x + b

# 2) Sigmoid: squashes any real to (0, 1)
def sigmoid(x):
    return 1 / (1 + math.exp(-x))

# 3) A tiny neuron = linear -> sigmoid
def neuron(x, w, b):
    return sigmoid(linear(x, w, b))

for x in [-3, -1, 0, 1, 3]:
    print(f"x={x:3d}  linear={linear(x):6.2f}  sigmoid={sigmoid(x):.4f}  neuron={neuron(x, 1.5, -0.5):.4f}")

# 4) Solving a linear equation programmatically:
#    2x + 3 = 11   ->  x = (11 - 3) / 2
a, b_const, c = 2, 3, 11
x_solution = (c - b_const) / a
print("x =", x_solution)

# 5) Composing functions (the heart of neural nets)
def f1(x): return 2*x + 1
def f2(x): return x**2
def f3(x): return sigmoid(x)

x = 0.5
print("f3(f2(f1(x))) =", f3(f2(f1(x))))

লক্ষ্য করুন

1. প্রতিটি গাণিতিক function = একটি Python function। এটাই ML code-এর foundation।
2. Composition (f₃(f₂(f₁(x)))) = neural network-এর forward pass।
3. Variable এর নাম (w, b, x) ML-এর কনভেনশন অনুসরণ করুন — code readable হয়।

• Linear Regression: ŷ = wx + b — পুরোটাই একটি linear function।
• Logistic Regression: ŷ = σ(wx + b) — linear + sigmoid composition।
• Neural Network: একই pattern, n বার nested।
• Loss function: L(θ) = (ŷ − y)² — quadratic function।
• Training: ∂L/∂θ = 0 solve করা — equation solving-এর extension।

• Function ও equation গুলিয়ে ফেলা — f(x) = 2x+3 একটি function, 2x+3 = 11 একটি equation।
• (a+b)² = a² + b² — ❌ ভুল! সঠিক: a² + 2ab + b²।
• Variable name যেমন-তেমন রাখা — w, b, x, θ convention মেনে চলুন।
• Negative sign distribute করতে ভুলে যাওয়া: −(a − b) = −a + b।

1. Solve করুন: 3x − 7 = 2x + 5।
2. Simplify: 2(x + 3) − (x − 4)।
3. f(x) = x² − 4x + 3 — f(0), f(1), f(3) বের করুন।
4. System solve করুন: x + y = 10, x − y = 2।
5. Python-এ relu(x) = max(0, x) function লিখুন এবং -3 থেকে 3 পর্যন্ত value print করুন।

একটি Python module activations.py তৈরি করুন যেখানে থাকবে: linear, sigmoid, tanh, relu, leaky_relu। প্রতিটির জন্য −5 থেকে 5 পর্যন্ত input দিয়ে output table print করুন। কোন function কোন range-এ output দেয় লক্ষ্য করুন।

1. Function ও equation-এর পার্থক্য কী?
2. Linear ও non-linear function-এর মধ্যে কোনটা ছাড়া neural network কাজ করে না, কেন?
3. Sigmoid function-এর range কী, এবং AI-তে এটা কেন ব্যবহার হয়?
4. Function composition বলতে কী বোঝেন? একটি neural network কীভাবে এর উদাহরণ?

Project: "Function Playground"।

Python-এ এমন একটি script লিখুন যেটি ব্যবহারকারীকে w ও b input নিতে দেবে, এবং f(x) = σ(wx + b)-এর graph (matplotlib) draw করবে −10 থেকে 10 পর্যন্ত।w বাড়ালে কী হয়, b বাড়ালে কী হয় — পর্যবেক্ষণ লিখে রাখুন। (এটাই একটি single neuron-এর behavior বুঝতে শেখা।)

• Variable = অজানা সংখ্যার নাম, ML-এ এদের সংখ্যা বিলিয়নে যেতে পারে।
• Expression = বাক্যাংশ, Equation = সমতার ঘোষণা, Function = input-output machine।
• প্রতিটি ML model আসলে nested function — f₃(f₂(f₁(x)))।
• Linear, sigmoid, exponential, log — ৪টি function ছাড়া কোনো ML formula পড়া যাবে না।
• Training = সেই বিশাল function-এর best parameter খোঁজা।